3. Règles mathématiques relatives à la multiplication

---

Nous allons voir dans cette rubrique les règles et formules mathématiques utiles pour le calcul mental.

Règles de commutativité et d’associativité

Comme pour l’addition, la multiplication est également commutative et associative.

Nous disons en ce qui concerne la commutativité que quel que soit deux valeurs numériques désignées par a et b, nous avons

a x b = b x a

Nous disons en ce qui concerne l’associativité que quel que soit trois valeurs numériques désignées par a, b et c, nous avons

(a x b) x c = a x (b x c)

Ces règles sont exploitables en calcul mental de cette manière :

Pour multiplier un nombre par 4, multipliez le par 2 puis multiplier le résultat par 2

Pour multiplier un nombre par 6, multipliez le par 3 puis multiplier le résultat par 2

Pour multiplier un nombre par 8, multipliez le par 2 puis multiplier le résultat par 2 puis multiplier le résultat par 2

Pour multiplier un nombre par 12, multipliez le par 2 puis multiplier le résultat par 2 puis multiplier le résultat par 3

Pour multiplier un nombre par 20, multipliez le par 2 puis multiplier le résultat par 10

Pour multiplier un nombre par 40, multipliez le par 2 puis multiplier le résultat par 2 puis multiplier le résultat par 10

Exemples :

57 x 4 = 57 x 2 x 2 = (57 x 2) x 2 = 104 x 2 = 208

123 x 12 = 123 x 3 x 2 x 2 = 369 x 2 x 2 = 738 x 2 = 1476

Exemple d’application de la règle de commutativité :

35 x 45 x 4 = 35 x 45 x 2 x 2 = 35 x 2 x 45 x 2 = 70 x 90 = 6300

Autres cas de calcul par étapes

Pour multiplier par 5, multiplier par 10 puis diviser par 2. Pour diviser par 5, multiplier par 2 puis diviser par 10.

Rappelons que 0.5 = ½. Pour multiplier un nombre par 0.5, il suffit de le diviser par 2

En général, pour multiplier par un nombre ayant en unité 5, multiplier par le double de ce nombre et diviser par 2. Et pour diviser par un nombre ayant en unité 5, diviser par le double de ce nombre et multiplier par 2.

Exemple :

260 / 65= (260 / 130) x 2 = 2 x 2 = 4

Exemple :

12 x 45 = (12 x 90) / 2 = 1080 / 2 = 540

Mais, pour le dernier exemple, mieux est de faire :

12 x 45 = 6 x 2 x 45 = 6 x 90 = 540

Pour multiplier par 25, multiplier par 100 puis diviser par 4 ou bien diviser 2 fois par 2

Rappelons que 0.25 = ¼. Pour multiplier un nombre par 0.25, il suffit de le diviser par 4 ou bien le diviser 2 fois par 2

Pour multiplier par 50, multiplier par 100 puis diviser par 2

Multiplication par 9

9 = 10 – 1, donc pour multiplier un nombre par 9, il suffit de le multiplier par 10, et de le soustraire du résultat.

Soit par exemple :

64 x 9 = (64 x 10) – 64 = 640 – 64 =(640 + 36) – (64 + 36) = 676 – 100 = 576

Développement et factorisation

Quel que soit trois valeurs numériques désignées par a, b et c, nous avons

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
(b + c) x a = (b x a) + (c x a)

Par exemple

3 x (4 + 5) = 3 x 4 + 3 x 5

En cas de soustraction

a x (b - c) = (a x b) - (a x c)
(b - c) x a = (b x a) - (c x a)

Avec plus de valeurs

a x (b + c + d) = (a x b) + (a x c) + (a x d)

Cas de division

(b + c) / a = (b / a) + (c / a)
(b - c) / a = (b / a) - (c / a)

Produits de deux sommes

(a + b) x (c + d) = (a x c) + (a x d) + (b x c) + (b x d)
(a - b) x (c + d) = (a x c) + (a x d) - (b x c) - (b x d)
(a + b) x (c - d) = (a x c) - (a x d) + (b x c) - (b x d)
(a - b) x (c - d) = (a x c) - (a x d) - (b x c) + (b x d)

Identités remarquables

Trois identités remarquables :

(a + b)² = a² + 2 x a x b + b²
(a - b)² = a² - 2 x a x b + b²
(a + b) x (a – b) = a² - b²

Ces égalités seront utilisées au chapitre suivant concernant la 1^ère méthode de calcul mental de multiplication.

---