الباكالوريا مبرهنة القيم الوسطية

مبرهنة القيم الوسطية

مبرهنة

حالة خاصة

f(a).f(b) ≤ 0 يعادل: "0 محصور بين f(a) وf(b)".

ملحوظة: إذا كانت الدالة غير معرفة في a أو b، استخدم النهاية بدلاً من الصورة، أي.

lim x→a x > a       عوضا عن      f(a)

lim x→b x < b       عوضا عن      f(b)

تطبيق المبرهنة - طريقة التنصيف

نستعمل طريقة التنصيف للحصول على قيمة تقريبية لحل المعادلة f(x) = 0 في مجال [a; b].

مبدأ هذه الطريقة هو تقسيم المجال [a; b] إلى مجالين [a; a+b / 2 ] و [ a+b / 2 ; b].

ثم نطبق مبرهنة القيم الوسطية على كل من المجالين. نتحقق إذن هل

f(a).f( a+b / 2 ) < 0 ?

و كذلك

f( a+b / 2 ).f(b) < 0 ?

نحتفظ بالمجال حيث الفرضية صحيحة ونطبق عليه نفس العملية. أي أننا نقسمه إلى قسمين، ثم نطبق عليه مبرهنة القيم الوسطية، وهكذا.

بهذه الطريقة نحصل على مجالات أصغر فأصغر. ونتوقف عندما نحصل على الدقة المطلوبة.

مثال

لنعتبر الدالة f المعرفة كما يلي

f(x) = x³ - 3x + 1

الدالة f معرفة و متصلة على ℝ.

لنحدد جدول التغيرات للدالة f.

النهايات عند حدود مجال التعريف

lim x→-∞ f(x) = lim x→-∞ (x³ - 3x + 1) = -∞

lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ (x³ - 3x + 1) = +∞

الدالة المشتقة للدالة f

f'(x) = 3x² - 3
       = 3 (x² - 1)
       = 3 (x - 1)(x + 1)

جدول التغيرات

الدالة f رتيبة على المجال [-1; 1] و لدينا f(-1).f(1)=-3<0. المعادلة f(x) = 0، لها إذن حل فريد في هذا المجال.

لنحدد حل هذه المعادلة باستخدام طريقة التنصيف.

نقسم المجال [-1; 1] إلى المجالين [-1; 0] و [0; 1].

f(-1).f(0)=3>0

f(0).f(1)=-1<0

نحتفظ بالمجال [0; 1] و نقسمه إلى المجالين [0; 0,5] و [0,5; 1].

f(0).f(0,5)=-0,375<0

f(0,5).f(1)=+0,375>0

نحتفظ بالمجال [0; 0,5] و نقسمه إلى المجالين [0; 0,25] و [0,25; 0,5].

f(0).f(0,25)=0,265>0

f(0,25).f(0,5)=-0,1<0

حل المعادلة f(x) = 0 في المجال [-1; 1] محصور بين 0,25 و 0,5.

تمارين مصححة - مبرهنة القيم الوسطية